Question

【题目】已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．

（1）求出函数f（x）在R上的解析式；

（2）写出函数的单调区间．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=；

（2）则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，函数的单调递减区间为为[﹣1，1]．

【解析】

试题（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点，则f（﹣x）=﹣f（x），即可求出函数f（x）在R上的解析式；

（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解：（1）∵函数f（x）是定义域在R上的奇函数，

∴当x=0时，f（0）=0；

当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x．

∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），

即f（x）=﹣x2﹣2x．

综上：f（x）=．

（2）函数f（x）=的图象如下图所示：

则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，

函数的单调递减区间为为[﹣1，1]．