Question

6．设a为实数，函数f（x）=x|x-a|．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；
（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x-a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．

解答 解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x-a|在0≤x≤1上为增函数，
∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1-a|=1-a，
若a＞0，由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，
由${x}^{2}-ax=\frac{{a}^{2}}{4}，即x=（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
当$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a-1；
当$\frac{1}{2}＜1＜（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
即$2（\sqrt{2}-1）≤a＜2$时，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上递增，在[$\frac{a}{2}$，a]上递减，
∴f（x）的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当$（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a＜1$，即$0＜a＜2（\sqrt{2}-1）$时，
f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上递增，在[$\frac{a}{2}$，a]上递减，在[a，1]上递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=1-a．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．