Question

16．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a+1．
（1）若f（x）是区间[0，2]上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）条件下，记M（a）是|f（x）|在区间[0，2]上的最大值，求证：M（a）≥$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f′（x），由导数与函数单调性的关系可得：f′（x）≥0在[0，2]恒成立或f′（x）≤0在[0，2]恒成立，由二次函数的性质列出不等式，求出实数a的取值范围；
（2）由（1）对a分类讨论，分别判断出f（x）的单调性、求出最大值或最小值，再根据a的范围求出|f（x）|的最大值，并证明结论成立．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
∵f（x）是区间[0，2]上的单调函数，
∴f′（x）≥0在[0，2]恒成立或f′（x）≤0在[0，2]恒成立，
∴f′（1）=a-1≥0或f′（0）=f′（2）=a≤0，
解得a≥1或a≤0，
则实数a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）；
证明：（2）由（1）得：①当a≥1时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，2]单调递增，
∴f（x）_最小值=f（0）=-a+1≤0，f（x）_最大值=f（2）=a-$\frac{1}{3}$，
又|f（0）|=a-1＜a-$\frac{1}{3}$，
∴当a≥1时：M（a）=a-$\frac{1}{3}$≥$\frac{2}{3}$＞$\frac{5}{12}$；
②当a≤0时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，2]单调递减，
∴f（x）_最小值=f（2）=a-$\frac{1}{3}$＜0，f（x）_最大值=f（0）=-a+1
又|f（2）|=-a+$\frac{1}{3}$＜f（0），
∴当a≤0时：M（a）=-a+1≥1＞$\frac{5}{12}$，
综上可得，M（a）≥$\frac{5}{12}$成立．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，以及恒成立问题的转化求函数的最值，考查分类讨论思想和转化思想．