Question

12．在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（-2，0），P是曲线$x=\sqrt{1-{y^2}}$上的一个动点，则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$的最大值为4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 推导出曲线$x=\sqrt{1-{y^2}}$是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，设P（cosα，sinα），α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，则$\overrightarrow{BA}$=（2，2），$\overrightarrow{BP}$=（cosα+2，sinα），由此利用三角函数性质能求出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$的最大值．

解答 解：曲线$x=\sqrt{1-{y^2}}$是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，
∵A（0，2），B（-2，0），P是曲线$x=\sqrt{1-{y^2}}$上的一个动点，
∴设P（cosα，sinα），α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
则$\overrightarrow{BA}$=（2，2），$\overrightarrow{BP}$=（cosα+2，sinα），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$=2cosα+4+2sinα=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）+4，
∵α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，∴$α+\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当$α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$时，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）+4取最大值4+2$\sqrt{2}$．
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量积的最大值的求法，考查圆、三角函数、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、运动与方程思想，考查应用意识、创新意识，是中档题．