Question

多面体EABCDF中，底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=1，EA=2．
（1）求多面体EABCDF的体积；
（2）若FG⊥EC于G，求证：FG∥面ABCD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，连接ED，多面体EABCDF的体积V=V_E-PCD+V_E-ABCD ，只有分别求解两个棱锥的体积即可；
（2）设AC与BD相交于点O，连结OG，只需证明四边形DOGF为平行四边形即可．

解答： 解：（1）连接ED，
∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，FD∩AD=D，
∴AD⊥平面FDC，
V_E-PCD=

1

3

AD•S_△FDC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
V_E-ABCD=

1

3

EA•S_{正方形ABCD}=

1

3

×2×2×2=

8

3

，
∴多面体EABCDF的体积V=V_E-PCD+V_E-ABCD
=

2

3

+

8

3

=

10

3

；
（2）设AC与BD相交于点O，连结OG．
∵OG是△AEC的中位线∴OG∥AE，且AE=2OG，
∵由已知EA=2FD，
∴OG∥DF且OG=DF，
可得平面四边形DOGF为平行四边形，
∴FG∥OD，
又∵FG?ABCD，OD?ABCD，
∴FG∥面ABCD．

点评：本题重点考查了空间中直线与直线平行、垂直，直线与平面平行垂直，面面垂直等判定和性质定理及其应用，空间中棱锥的体积计算等知识，属于重点题型，注意解决中点问题的一般思路：有中点取中点，相连得到中位线，本题属于中档题．