Question

（2011•孝感模拟）对于正整数j，设a_j，k=j-3（k-1）（k=1，2，3…），如a_3，4=3-3（4-1）=-6，对于正数m、n，当n≥2，m≥2时，设b（j，n）=a_j，1+a_j，2+a_j，3+…+a_j，n，则b（1，n）=

1

2

(-3n2+5n)

；设S（m，n）=b（1，n）+b（2，n）+b（3，n）+…+b（m，n），则S（5，6）=

-135

．

Answer 1

分析：依据定义可将b（1，n）表示为 a_1，1+a_1，2+a_1，3+…+a_1，n，进而可转化为4n-3（1+2+…+n），利用等差数列的求和公式可以解决；先理解定义得S（5，6）=b（1，6）+b（2，6）+b（3，6）+b（4，6）+b（5，6），再分别求和即可．

解答：解：由题意，b（1，n）=a_1，1+a_1，2+a_1，3+…+a_1，n=[1-3（1-1）]+[1-3（2-1）]+…+[1-3（n-1）]
=4n-3（1+2+…+n）=

1

2

(-3n2+5n)
b（m，n）=a_m，1+a_m，2+a_m，3+…+a_m，n=[m-3（1-1）]+[m-3（2-1）]+…+[m-3（n-1]
=n（m+3）-3（1+2+…+n）=

3n+2nm-3n2

2

∴S（5，6）=b（1，6）+b（2，6）+b（3，6）+b（4，6）+b（5，6）=-135
故答案为

1

2

(-3n2+5n)，-135

点评：本题的考点是数列的应用，主要考查新定义，考查等差数列的求和和问题，关键是理解新定义，合理地转化为数列的求和，计算时要细心．