【题目】已知函数,
.
(1)若在区间
上不是单调函数,求实数
的范围;
(2)若对任意,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,设
,对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在
轴上?请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)若可导函数在指定的区间
上单调递增(减),求参数问题,可转化为
恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到,若不是单调函数,则不恒成立;(2)含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单,常用到两个结论:(1)
,(2)
.(3)与函数有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点.
试题解析:解:(1)由
得,因
在区间
上不上单调函数
所以在
上最大值大于0,最小值小于0
,
由,得
,且等号不能同时取,
,即
恒成立,即
令,求导得
当时,
,从而
在
上是增函数,
由条件,
假设曲线上存在两点
满足题意,则
只能在
轴两侧
不妨设,则
,且
是以
为直角顶点的直角三角形,
是否存在等价于方程
在
且
是否有解
①当时,方程
为
,化简
,此方程无解;
②当时,方程
为
,即
设,则
显然,当时,
,即
在
上为增函数
的值域为
,即
,
当
时,方程
总有解
对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在
轴上
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【题目】高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面
平面ABCD,平面
平面ABCD.
Ⅰ
证明:
平面ABCD;
Ⅱ
若二面角
的大小为
,求PB与平面PAD所成角的大小.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且椭圆C过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点,且与圆:交于E、F两点,求
的取值范围.
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【题目】若函数在其图象上存在不同的两点
,
,其坐标满足条件:
的最大值为0,则称
为“柯西函数”,则下列函数:①
:②
:③
:④
.
其中为“柯西函数”的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】(5分)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为( )
A. 1升 B. 升 C.
升 D.
升
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【题目】已知点到点
的距离与点
到直线
的距离相等.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,过点
且斜率为1的直线与曲线
相交于不同的两点
,
,
为坐标原点,求
的面积.
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