Question

【题目】在几何体中，底面为菱形，，与相交于点，四边形为直角梯形，，面面.

（1）证明：面面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由底面为菱形，可得，结合面面垂直的性质可得平面，从而得到，又，得到平面,利用勾股定理证得，由线面垂直的判定定理证得平面，利用面面垂直的判定定理证得平面平面；

（2）取EF中点G,由题意可知,，则平面，分别以OA,OB,OG所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AFC与平面AEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）因为底面为菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，从而.

又，所以平面,

由，

可知，

从而，故，

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中点，由题可知，所以平面，

又在菱形中，，

分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），

则.

所以，

，

.

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为，

设平面的法向量为，则，

即，

即，

令，得，所以.

从而.由图可知，所求二面角的大小为锐角，

故所求的二面角的余弦值为.