Question

（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x³－ax²－3x.

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

 

Answer 1

【答案】

(1) a≤0(2) f(x)_max＝－6，f(x)_min＝－18.

【解析】

试题分析：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x²－2ax－3. ………………1分

由f′(x)>0(x≥1)，得a< (x－)．………………2分

记t(x)＝ (x－)，

当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)_min＝ (1－1)＝0. ………………3分

∴a<0，又∵a＝0时也符合题意，故a≤0. ………………4分

(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4，………………6分

∴f(x)＝x³－4x²－3x，f′(x)＝3x²－8x－3.

令f′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝3. ………………8分

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，3)	3	(3，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

 

∴当x∈(－∞，－]与[3，＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈[－，3]时，f(x)是减函数．

于是，当x∈[1,4]时，有极小值f(3)＝－18；………………10分

而f(1)＝－6，f(4)＝－12，

∴f(x)_max＝f(1)＝－6，f(x)_min＝－18. ………………12分

考点：利用导数判定函数单调性，求函数的最值

点评：解(1)过程中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题