Question

如图，BC是半圆的直径，D、E是半圆上的两点，且．过C作半圆的切线，与BE的延长线相交于F，BE与CD相交于G，CE、BD的延长线相交于A，连结DE．

(1)求证：AB=BC；

(2)如果，BG=3k，试用含k的代数式表示AC；

(3)设FC=a，BF＋FC=b，，求证：是方程的根，并求出这个方程的另一个根．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：，∴∠ABE=∠CBE． ∵BC是半圆的直径，∴∠AEB=∠CEB=90°． 又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE． ∴AB=BC． (2)解：∵BC是半圆的直径， ∴∠GEC=∠FEC=90°． ∵CF是切线，∴∠GCE=∠CBE=∠FCE． 又∵CF=CE，∴△CEG≌△CEF．∴CG=GF，EF=EG． 由相交弦定理可得：，∴． 由BG=3k，得，∴． ∵CF是半圆的切线，由切割线定理得，∴． 设EF=EG=x，则． 解得，(舍去)． ∴EF=k．∴． (3)解：易证，把代入方程， ∴左边=右边．∴是方程的根． 设另一根为，由韦达定理，得 ． ∴，即另一个是．

提示：