Question

（2012•合肥一模）如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB₁，AB=AC=AA₁=

2

2

BC，B₁C₁∥=

1

2

BC．
（1）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）若D是BC的中点，求证：B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）若BC=2，求几何体ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，再由线面垂直的性质得到AB⊥AA₁，从而得到AB⊥平面AA₁C，最后证明四边形A₁ABB₁是平行四边形，可得AB∥A₁B₁，，所以A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）利用一组对边平行且相等，证出四边形B₁C₁CD是平行四边形，从而B₁D∥C₁C，再用线面平行的判定定理，即可证出B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）连接AD、C₁D，将几何体ABC-A₁B₁C₁的体积分割成四棱锥C-DAA₁C₁和三棱柱ABD-A₁B₁C₁，则不难用柱体、锥体的体积公式求出它的体积．

解答：解：（1）∵AB=AC=

2

2

BC，∴AB²+AC²=BC²，可得AB⊥AC
又∵AA₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AB⊥AA₁
∵AC、AA₁?平面AA₁C，AC∩AA₁=A
∴AB⊥平面AA₁C，
又∵AA₁∥BB₁，且AA₁=BB₁，
∴四边形A₁ABB₁是平行四边形，可得AB∥A₁B₁
∴A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）∵B₁C₁∥BC且B₁C₁=

1

2

BC，D为BC中点
∴B₁C₁∥DC且B₁C₁=DC，
∴四边形B₁C₁CD是平行四边形，可得B₁D∥C₁C
∵B₁D?平面A₁C₁C，C₁C?平面A₁C₁C
∴B₁D∥平面A₁C₁C；
（3）连接AD、C₁D，
∵AD⊥BC，AA₁⊥BC，且AD、AA₁是平面DAA₁C₁内的相交直线
∴BC⊥平面DAA₁C₁，可得CD是四棱锥C-DAA₁C₁的高
由（1）（2）的证明可知：ABD-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴几何体ABC-A₁B₁C₁的体积为：V=V_{四棱锥C-DAA1C1}+V_{三棱柱ABD-A1B1C1}=

1

3

×(

2

×1)×1+

1

2

×1×1×

2

=

5 2

6

点评：本题给出由一个四棱锥和一个三棱柱组成的几何体，要求证明线面垂直和线面平行，并且求几何体体积．着重考查了线面垂直、线面平行的判定与性质和组合几何体的体积求法等知识，属于中档题．