Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线，与直线分别交于点，，求证：以线段为直径的圆过定点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由，得，又，且，联立求解出、、的值，即可求出椭圆方程；

（Ⅱ）设点，由点在椭圆上和直线、的斜率求出，设直线、的方程，求出点和点的坐标，设圆过定点，为直径，所以，化简后即可得到定点.

（Ⅰ）由，得，

又因为，且，

得，，，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题意，点，点，

设点，则，得，

又设直线，的斜率分别为，，

则，，

所以，

∴直线：，直线：，

所以点，，

假设过定点，

由得

，

所以得，

令，得或，

所以过定点，.