Question

已知函数，
（1）当时，求f（x）的反函数g（x）；
（2）求关于x的函数y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]．
（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）由得
∴
（2）令t=f^-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知．
∴函数y=[f^-1（x）]²-2a[f^-1（x）]+3=t²-2at+3
对称轴x=a（a≤3）
时，
②，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴．
（3）对（2）中，
易知g（x）在（-∞，3]上单减．
（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
上的值域为[p²，q²]．
①若，g（x）递减，
得p+q=，
这与矛盾．
②时恒成立

此时p、q、满足，这样的p，q存在．
③时，解得矛盾
∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足
（II）∵在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]
分析：（1）将f（x）看成关于x的方程，求出x，将x，y互换得到g（x）．
（2）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值g（a）．
（3）据和谐函数的定义，列出方程组，求出p，q满足的条件．
点评：本题考查新定义题，关键是理解透题中的新定义，此题型是近几年高考常考题型．求分段函数的函数值关键是判断出自变量所属的范围．