Question

【题目】在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.

(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

(1)先证明PD⊥平面ABM，再证明平面ABM⊥平面PCD.(2) 设平面ABM与PC交于点N，连接BN，MN，再证明∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，再解三角形求得直线PC与平面ABM所成的角的正切值.

（1）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD

因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，

因此有PD⊥平面ABM，

所以平面ABM⊥平面PCD.

(2)设平面ABM与PC交于点N，连接BN，MN，

因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD.

由(1)知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，

且∠PNM＝∠PCD，tan∠PNM＝tan∠PCD＝＝2.

即所求角的正切值为2.