Question

9．已知函数f（x）=sinx-$\frac{1}{{2{x^2}}}$，若$\frac{π}{3}＜a＜b＜\frac{5π}{6}$，则（　　）

• A． f（a）＞f（b）
• B． f（a）＜f（b）
• C． f（a）=f（b）
• D． f（a）f（b）＞0

Answer 1

分析 利用导数求得f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上是增函数，再根据f（$\frac{π}{3}$）f（$\frac{5π}{6}$）＞0，$\frac{π}{3}＜a＜b＜\frac{5π}{6}$，可得 f（a）f（b）＞0．

解答 解：∵函数f（x）=sinx-$\frac{1}{{2{x^2}}}$，∴f′（x）=cosx+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
故当$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{6}$时，函数f′（x）为减函数，而f′（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{18}{25{•π}^{2}}$＞0，
故f′（x）＞0在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上恒成立，故f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上是增函数，
f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9}{{2π}^{2}}$＞0，f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{18}{25{•π}^{2}}$＞0，
∴f（$\frac{π}{3}$）f（$\frac{5π}{6}$）＞0，
再根据若$\frac{π}{3}＜a＜b＜\frac{5π}{6}$，可得 f（a）f（b）＞0，
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数值的符号，属于基础题．