Question

17．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B是单位圆上一个定点，点P是一个动点，且∠AOB=120°，∠AOP=θ（0＜θ＜π），$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，求x+y的最大值；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+sinθ≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1时，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，根据三角函数的定义得到A，B，P的坐标，将$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$表示为以θ为参数的方程，x+y用θ的三角函数表示求最值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+sinθ用坐标表示后化简得到关于θ的三角函数值的范围，进而求θ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由任意角的三角函数的定义得到A（1，0），B（$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（cosθ，sinθ），
因为$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=x-\frac{1}{2}y}\\{sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，所以x+y=$\sqrt{3}$sinθ+cosθ=2sin（$θ+\frac{π}{6}$），
因为0＜θ＜π，所以当θ=$\frac{π}{3}$时，x+y的最大值为2；
（Ⅱ）因为$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$=（1+cosθ，sinθ），
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+sinθ=1+cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+1≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1，
整理得sin（$θ+\frac{π}{4}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以2kπ+$\frac{π}{3}$≤$θ+\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，所以2kπ+$\frac{π}{12}$≤θ≤2kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
由于0＜θ＜π，所以$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{5π}{12}$，即$θ∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$．

点评 本题考查了三角函数的坐标法定义的运用、平面向量的坐标运算以及三角函数的最值求法；关键是将问题坐标化．