Question

5．已知甲、乙两名篮球运动员每次投篮命中的概率分别为$\frac{1}{2}$、p，甲、乙每次投篮是否投中相互之间没有影响，乙投篮3次均未命中的概率为$\frac{1}{27}$．
（1）求p的值；
（2）若甲投篮1次、乙投篮2次，两人投篮命中的次数的和记为X，求X的分布列和数学期望E（X）

Answer 1

分析 （1）服从B（3，p）独立重复试验，利用概率公式求解即可．
（2）确定X=0，1，2，3，分析得出当x=0时，甲，乙两人投篮命中次数都为0，当x=1时，甲，乙两人投篮命中次数为0，1或1，0；当x=2时，甲，乙两人投篮命中次数为1，1．或0，2；当x=3时，甲，乙两人投篮命中次数为1，2；利用独立事件同时发生的概率求解即可．

解答 解：（1）服从B（3，p）独立重复试验
根据题意得出：${C}_{3}^{3}$p³（1-P）⁰=$\frac{1}{27}$，
∴p=$\frac{1}{3}$，
（2）X=0，1，2，3
当x=0时，甲，乙两人投篮命中次数都为0，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）×${C}_{2}^{2}$（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{2}{9}$，
当x=1时，甲，乙两人投篮命中次数为0，1或1，0．
P（X=1）=（1-$\frac{1}{2}$）×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}×$${C}_{2}^{2}$（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{2}{9}$$+\frac{2}{9}$=$\frac{4}{9}$，
当x=2时，甲，乙两人投篮命中次数为1，1．或0，2
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×${C}_{2}^{2}$（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{2}{9}$$+\frac{1}{18}$=$\frac{5}{18}$，
当x=3时，甲，乙两人投篮命中次数为1，2．
P（X=3）=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{18}$，

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

E（X）=0×$\frac{2}{9}$$+1×\frac{4}{9}$+2×$\frac{5}{18}$$+3×\frac{1}{18}$=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了离散型的概率求解，分布列，数学期望，考查了学生的阅读分析问题的能力，计算能力，属于中档题．