Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞a}\\{-{x}^{2}+2x+b，x≤a}\end{array}\right.$其中a≥0，b∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=1，b=1时，若函数y=f（x）-c有两个零点，求实数c的取值范围；
（3）当b=-2，若对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）＜f（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx，x＞0\\-{x}^{2}+2x+b，x≤0\end{array}\right.$，利用导数法求出切点坐标和切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；
（2）当a=1，b=1时，若函数y=f（x）-c有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=c有两个交点，利用图象法可分析出实数c的取值范围；
（3）当b=-2，若对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）＜f（x₂），则函数f（x）在定义域R为增函数，在同一坐标系中画出y=xlnx，和y=-x²+2x-2的图象，数形结合可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx，x＞0\\-{x}^{2}+2x+b，x≤0\end{array}\right.$，
当x＞0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
由f（1）=0，f′（1）=1得：切点坐标为（1，0），切线斜率为1，
故切线方程为：y=x-1；
（2）当a=1，b=1时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx，x＞1\\-{x}^{2}+2x+1，x≤1\end{array}\right.$，
当x＞1时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1＞0，此时函数为增函数；
当x≤1时，f（x）=-x²+2x+1，f′（x）=-2x+2＞0，此时函数为增函数；
故函数f（x）的图象如下图所示：

若函数y=f（x）-c有两个零点，
则函数y=f（x）的图象与直线y=c有两个交点，
则c∈（0，2]，
（3）当b=-2，若对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在定义域R为增函数，
在同一坐标系中画出y=xlnx，和y=-x²+2x-2的图象如下图所示：
，
则有a∈[$\frac{1}{e}$，1]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的判定定理，利用导数研究曲线上的某点的切线方程，是导数，函数的综合应用，难度中档．