Question

9．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P和Q，它们与投入资金t的关系有经验公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{12}{5}$$\root{3}{t}$，今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对乙种商品投资x万元，x∈[0，10]，
（1）试建立总利润y关于x的函数关系式；
（2）试问怎样投资，才能使得总利润最大？并求出该最大值．（其中P，Q，t，x，y的单位均为万元）

Answer 1

分析 （1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（10-x）（万元），利用公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{12}{5}$$\root{3}{t}$，可求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）利用导数法，分析函数的单调性，进而可求总利润y的最大值

解答 解：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（3-x）（万元）．
P=$\frac{1}{5}$（10-x），Q=$\frac{12}{5}$$\root{3}{x}$，
可得y=$\frac{1}{5}$（10-x）+$\frac{12}{5}$$\root{3}{x}$=2-$\frac{1}{5}$x+$\frac{12}{5}$$\root{3}{x}$，x∈[0，10]，
（2）由（1）得：y′=-$\frac{1}{5}$+$\frac{4}{5}$ ${x}^{-\frac{2}{3}}$，x∈[0，10]，
令y′=0，解得：x=8，
∵当x∈[0，8]时，y′＞0，原函数为增函数；
当x∈[8，10]时，y′＜0，原函数为减函数；
∴当x=8时，y_最大值=$\frac{26}{5}$．
答：对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资8万元时，总利润的最大值是$\frac{26}{5}$万元． …12

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．