Question

9．已知函数g（x）=λx+sinx定义在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上．
（1）若函数g（x）是增函数，求λ的最小值；
（2）当λ=-$\frac{1}{2}$时，求函数g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的极大值；
（3）当λ≥0时，求证：不存在实数t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

Answer 1

分析 （1）g（x）是在[-π/2，π/2]上的增函数，可得g'（x）=λ+cosx≥0在[-π/2，π/2]上恒成立，进而求出λ≥0；
（2）代入得g（x）=-$\frac{1}{2}$x+sinx，求导，通过导函数正负判断原函数的单调性，进而求出函数的极值；
（3）恒成立问题转换为最值问题．即g（x）的最小值要大于t²+λt+1的最大值才能成立，利用二次函数和（1）的知识进行证明．

解答 解：∵g（x）是在[-π/2，π/2]上的增函数，
∴g'（x）=λ+cosx≥0在[-π/2，π/2]上恒成立，
∴λ≥-cosx，
又∵-cosx在[-π/2，π/2]上的最大值为0，
∴λ≥0
故λ的最小值为0；
（2）当λ=-$\frac{1}{2}$时，
g（x）=-$\frac{1}{2}$x+sinx
g'（x）=-$\frac{1}{2}$+cosx
当x∈（-$\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{3}$）和（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）时，g'（x）＜0，g（x）递减
当x∈（$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）时，g'（x）＞0，g（x）递增
∴在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的极大值为g（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$
（3）当λ≥0时，由（1）知函数g（x）是增函数
∴g（x）的最小值为g（-1）=-λ-sin1＜0
t²+λt+1=（t+$\frac{λ}{2}$）²-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+1≥-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+1
-λ-sin1不恒大于-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+1
∴不存在实数t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

点评 考察了利用导函数判断函数的单调性和求函数的极值；恒成立问题的转换以及二次函数的性质．