Question

4．解不等式$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x}}{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x+1}}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x}}{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x+1}}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x}}{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x+1}}$＞1．

Answer 1

分析 根据不等式若a，b，m∈R+，且a＜b，则不等式$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$的结论，进行求解即可．

解答 解：已知若a，b，m∈R+，且a＜b，
则不等式$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$，
则$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x}}{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x+1}}$＞$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x+1}}$=$\frac{1}{2}$，
$\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x}}{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x+1}}$＞$\frac{{3}^{2x}}{{3}^{2x+1}}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x}}{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x+1}}$＞$\frac{{6}^{3x}}{{6}^{3x+1}}$=$\frac{1}{6}$，
则$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x}}{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x+1}}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x}}{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x+1}}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x}}{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x+1}}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=1，
即$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x}}{\sqrt{{x}^{2}+1}+{2}^{x+1}}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x}}{\sqrt{{x}^{2}+2}+{3}^{2x+1}}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x}}{\sqrt{{x}^{2}+3}+{6}^{3x+1}}$＞1恒成立，
即原不等式的解集为R．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据不等式若a，b，m∈R+，且a＜b，则不等式$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$的结论是解决本题的关键．