Question

20．如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，左视图是长为2，宽为4的矩形，
（1）若该几何体底面边长为a，求a的值；
（2）求该几何体的体积；
（3）求该几何体的表面积．

Answer 1

分析 （1）由已知中的三视图，可得该几何体是正三棱柱，底面三角形的高为2，棱柱的高为4；若该几何体底面边长为a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=2，解得a值；
（2）由（1）中结论，代入三棱柱的体积公式，可得答案；
（3）由（1）中结论，代入三棱柱的表面积公式，可得答案；

解答 解：（1）由已知中的三视图，可得该几何体是正三棱柱，
底面三角形的高为2，棱柱的高为4；
若该几何体底面边长为a，则$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=2，解得：a=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
（2）几何体的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{4}{3}\sqrt{3}）^{2}×4$=$\frac{16}{3}\sqrt{3}$；
（3）该几何体的表面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{（\frac{4}{3}\sqrt{3}）}^{2}×2$+$3×{\frac{4}{3}\sqrt{3}}^{\;}×4$=$\frac{56}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱柱的三视图，难度中档．