Question

已知sinα+cosβ=

1

3

，sinβ-cosα=

1

2

，则sin（α-β）=

-

59

72

．

Answer 1

分析：把已知的两等式左右两边平方，利用完全平方公式展开后，分别记作①和②，然后将①+②，左边利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，右边计算，整理后即可求出sin（α-β）的值．

解答：解：∵sinα+cosβ=

1

3

，sinβ-cosα=

1

2

，
∴（sinα+cosβ）²=

1

9

，（sinβ-cosα）²=

1

4

，
即sin²α+2sinαcosβ+cos²β=

1

9

①，sin²β-2sinβcosα+cos²α=

1

4

②，
①+②得：sin²α+2sinαcosβ+cos²β+sin²β-2sinβcosα+cos²α
=（sin²α+cos²α）+（cos²β+sin²β）+2（sinαcosβ-sinβcosα）
=1+1+2sin（α-β）=2+2sin（α-β）=

13

36

，
则sin（α-β）=-

59

72

．
故答案为：-

59

72

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．