Question

如图所示，点A（p，o）（p＞0），点R在y轴上运动，点T在x轴上，N为动点，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0．
（I）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（II）设P，Q是曲线C上的两个动点，M（x₀，y₀）是曲线C上一定点，若

PM

•

QM

=0，试证明直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（I）设N（x，y），由

RN

+

RT

=0知R是TN的中点，则T（-x，0），R（0，

y

2

），由

RT

•

RA

=0，知(-x，-

y

2

)•(p，

y

2

)=0，由此能求出点N的轨迹曲线C的方程．
（II）设P(

y12

4p

，y1)，Q(

y22

4p

，y2)，则kPQ=

y1-  y2

y12  4p - y22 4p

=

4p

y1+ y2

，kMP=

4p

y0+ y2

．由

PM

• 

QM

=0，得PM⊥QM，k_MP•k_MQ=-1，

4p

y0+y1

•

4p

y0+y2

=-1，由此能推导出直线PQ经过定点（x₀+4p，-y₀）．

解答：解：（I）设N（x，y），由

RN

+

RT

=0知R是TN的中点，
则T（-x，0），R（0，

y

2

），
∵

RT

•

RA

=0，
∴(-x，-

y

2

)•(p，

y

2

)=0，
整理，得y²=4px（p＞0）．
故点N的轨迹曲线C的方程是y²=4px（p＞0）．
（II）设P(

y12

4p

，y1)，Q(

y22

4p

，y2)，
则kPQ=

y1-  y2

y12  4p - y22 4p

=

4p

y1+ y2

，
kMP=

4p

y0+ y2

．
由

PM

• 

QM

=0，得PM⊥QM，
∴k_MP•k_MQ=-1，
∴

4p

y0+y1

•

4p

y0+y2

=-1，
从而（-1）（y₀+y₁）（y₀+y₂）=16p²．
∴（y₁+y₂）y₀+y₁y₂+y₀²+16p²=0．①
直线PQ的方程为y-y1=

4p

y1 +y2

(x-

y12

4p

)，
即（y₁+y₂）y-y₁y₂-4px=0．
①可变为（y₁+y₂）（-y₀）-y₁y₂-4p（x₀+4p）=0，
∴直线PQ经过定点（x₀+4p，-y₀）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．