Question

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a、b的值以及在x=3处的切线方程；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件可得

f′(1)=0 f′(2)=0

，解出并验证即可；
（2）利用导数先求出函数f（x）在区间[0，3]上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值．又已知要求的问题：对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f(x)max＜c2，x∈[0，3]．进而解出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f^′（x）=6x²+6ax+3b．
∵函数f（x）在x=1及x=2时取得极值，
∴

f′(1)=6+6a+3b=0 f′(2)=24+12a+3b=0

，解得

a=-3 b=4

．
∴f^′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
经验证当a=-3，b=4时，函数f（x）在x=1及x=2时取得极值．
∴a=-3，b=4．
∴f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f（3）=9+8c，切点（3，9+8c）．
又f^′（3）=12，
∴函数在x=3处的切线方程为y-9-8c=12（x-3），即12x-y-27+8c=0；
（2）由（1）可知：f^′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f^′（x）=0，解得x=1，2．列表如右：
由表格可知：函数f（x）在区间[0，1），（2，3]上单调递增；在区间（1，2）上单调递减．
∴函数f（x）在x=1处取得极大值，且f（1）=5+8c．
而f（3）=9+8c，∴f（1）＜f（3），
∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9+8c．
对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f(x)max＜c2，x∈[0，3]?9+8c＜c²，
由c²-8c-9＞0，解得c＞9或c＜-1．
∴要求的c的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

点评：充分利用导数求函数的极值及对要求的问题正确转化是解题的关键．