Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，a₂=2，且a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2）
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接由数列递推式变形得到数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
（2）求出等差数列{a_n+1-a_n}的通项公式，利用累加法求解{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：由a_n+1+a_n-1=2（a_n+1），得
（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2（n≥2）．
∴数列{a_n+1-a_n}是公差为2的等差数列；
（2）解：由{a_n+1-a_n}是公差为2的等差数列，且a₁=0，a₂=2，得
a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+2（n-1）=2n．
∴a₂-a₁=2×1．
a₃-a₂=2×2．
a₄-a₃=2×3．
…
a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2（1+2+…+n-1）=0+2•

n(n-1)

2

=n2-n（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴an=n2-n．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．