Question

已知增函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件求出f（4）=2，再将f（x）+f（x-3）≤2转化为f[x（x-3）]≤f（4），由单调性得到x＞0，x-3＞0，且x（x-3）≤4，求出交集即可．

解答： 解：由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，
2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
所以f（x）+f（x-3）≤2等价于
f（x）+f（x-3）≤f（4），
因为f（xy）=f（x）+f（y），
所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，
所以f[x（x-3）]≤f（4）．
又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
所以x＞0，x-3＞0，且x（x-3）≤4，
解得：3＜x≤4．
故满足的实数x的取值范围是（3，4]．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用，注意函数的定义域，属于易错题．