Question

（理科）已知函数f（x）=alnx+x²（a为常数）．
（1）若a≥-2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先求出f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，当f（x）≤（a+2）x时，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，若a≥-2，判断出f′（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，求出最小值以及相应的x值即可；
（2）先设函数g（x）=

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），可得g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，当x∈[1，e]，时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，求出g（x）的最小值，进而求出实数a的取值范围即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，
当f（x）≤（a+2）x时，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，
若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，
此时[f（x）]_min=f（1）=1；
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x，
∵x∈[1，e]，
∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），
可得g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]，时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，
所以a的取值范围是[-1，+∞]．

点评：本题主要考查了函数的单调性，导数的应用，以及求参数的范围，属于中档题．