Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，A₁，A₂；B₁，B₂分别为椭圆的长轴和短轴的端点（如图）．若四边形B₁F₁B₂F₂的面积为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点重合，过点N（5，2）任意作一条直线l，交抛物线E于A，B两点．证明：以AB为直径的所有圆是否过抛物线E上一定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由四边形B₁F₁B₂F₂的面积为2

3

．可得bc=

3

．由椭圆的离心率为

1

2

，可得

c

a

=

1

2

，再与a²=b²+c²联立即可解出．
（II）抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点（1，0）重合，可得

p

2

=1，得到抛物线E的方程为：y²=4x．设过点N（5，2）任意作一条直线l：x-5=m（y-2），交抛物线E于A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)两点．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，假设以AB为直径的所有圆过抛物线E上一定点M(

t2

4

，t)．
则

MA

•

MB

=0，解出即可．

解答： 解：（I）∵四边形B₁F₁B₂F₂的面积为2

3

．∴

1

2

×2c×b×2=2

3

，化为bc=

3

．
∵椭圆的离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
联立

bc= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）∵抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点（1，0）重合，
∴

p

2

=1，解得p=2．∴抛物线E的方程为：y²=4x．
设过点N（5，2）任意作一条直线l：x-5=m（y-2），交抛物线E于A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)两点．
联立

x-5=m(y-2) y2=4x

，
化为y²-4my+8m-20=0．△=16m²-4（8m-20）=16（m²-2m+5）＞0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=8m-20．（*）
假设以AB为直径的所有圆过抛物线E上一定点M(

t2

4

，t)．
则

MA

•

MB

=0，
∴

y 2 1 -t2

4

•

y 2 2 -t2

4

+(y1-t)(y2-t)=0．
化为(y1y2)2-t2[(y1+y2)2-2y1y2]+t⁴+16[y1y2-t(y1+y2)+t2]=0．
把（*）代入得：（8m-20）²-t²[16m²-2（8m-20）]+t⁴+16（8m-20-4mt+t²）=0，
化为（64-16t²）m²+（16t²-64t-192）m+t⁴-24t²+80=0，
此方程对于任意实数m恒成立，则

64-16t2=0 16t2-64t-192=0 t4-24t2+80=0

，解得t=-2．
∴以AB为直径的所有圆过抛物线E上一定点M（1，-2）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线方程与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．