Question

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）当c=-2时，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=6x²+6ax+3b，

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

，由此能求出a，b的值．
（2）由（1）知，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．由此利用导数性质能求出函数f（x）在区间[0，3]上的最大值．

解答： （1）解：∵函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

，
解得a=-3，b=4．…（5分）
（2）解：由（1）知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3）时，f′（x）＞0．
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，
又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c=-7．…（12分）

点评：本题考查实数值的求法，考查函数最值的求法，解题时要认真审题，注意数性质的合理运用．