Question

已知α∈（0，

π

2

），且满足2sin²α=cos2α-sin2α．
（1）求tanα的值；
（2）若β∈（

π

2

，π），且sinβ=

2 5

5

，求α+β

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,同角三角函数间的基本关系

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件可得（3sinα-cosα）（sinα+cosα）=0，根据α∈(0，

π

2

)，sinα+cosα＞0，可得3sinα-cosα=0，由此求得tanα的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanβ=-2，可得 tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

 的值．再根据α、β的范围，可得α+β∈（

π

2

，

3π

2

），从而求得α+β的值．

解答： 解：（1）由2sin²α=cos2α-sin2α得 3sin²α+2sinαcosα-cos²α=0，（3sinα-cosα）（sinα+cosα）=0．
∵α∈(0，

π

2

)，∴sinα+cosα＞0，
∴3sinα-cosα=0，即tanα=

1

3

．
（2）若β∈（

π

2

，π），且sinβ=

2 5

5

，∴cosβ=-

5

5

，∴tanβ=

sinβ

cosβ

=-2，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 3 +(-2)

1- 1 3 ×(-2)

=-1．
再根据α、β的范围，可得α+β∈（

π

2

，

3π

2

），∴α+β=

3π

4

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．