Question

（2013•崇明县二模）如图：已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP两两互相垂直，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出AP长度，则可得到图中各点坐标，求出向量

AB

，

MN

，由它们的数量积等于0证得AB⊥MN；
（2）利用MN=5，求出AP的长度，分别求出平面AMB和平面AMN的一个法向量，利用两个平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．

解答：（1）证明：因为底面是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，
所以AP⊥AD⊥AB．如图，
分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA=t
则A(0，0，0)、B(0，3，0)、M(3，

3

2

，0)、N(0，

3

2

，

t

2

)
得

AB

=(0，3，0)，

MN

=(-3，0，

t

2

)．
∴

AB

•

MN

=(0，3，0)•(-3，0，

t

2

)=0，所以AB⊥MN；
（2）解：由

MN

=(-3，0，

t

2

)，得|

MN

|=

9+ t2 4

=5，
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一个法向量为

n1

=(0，0，1)
设平面AMN的法向量

n2

=(x，y，z)，又

AM

=(3，

3

2

，0)，

AN

=(0，

3

2

，4)
由

n2 • AM =0 n2 • AN =0

得：

3x+ 3 2 y=0 3 2 y+4z=0

，取y=-2，得x=1，z=

3

4

．
所以平面AMN的一个法向量是

n2

=(1，-2，

3

4

)，
设二面角N-AM-B为α，则cosα=

n 1• n 2

| n 1|•| n 2|

=

3 4

1+4+ 9 16

=

3 89

89

．
所以二面角N-AM-B的余弦值为

3 89

89

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，利用空间向量求二面角的大小时，关键是分清两个平面的法向量所成的角与二面角的关系，此题是中档题．