Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取CB的中点G，连结DG，因为AD∥BG且AD=BD，

所以四边形ABGD为平行四边形，

所以DG=AB=12，

又因为AB⊥AD，

所以DG⊥AD，

又PD⊥平面ABCD，

故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系．…

因为BC=10，AD=5，PD=8，

所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），

因为E，F分别是PB，DC的中点，

所以E（6，﹣2.5，0），F（6，2.5，4），

因为PD⊥平面ABCD，DG平面ABCD，

所以PD⊥DG，

又因为DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD平面PAD，

所以DG⊥平面PAD，

所以 =（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，

又 =（0，5，4）， =0，

所以 ，

又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD；

（2）设平面PAD的法向量为 =（x，y，z），

所以 ，即 ，即 ，

令x=5，则 =（5，﹣12，0）…

所以EF与平面PDB所成角θ满足：

sinθ= = = ，

所以EF与平面PDB所成角的正弦值为

【解析】（1）先建立空间直角坐标系，再找出平面PAD的一个法向量，进而利用两个向量垂直可证EF∥平面PAD；（2）先找出平面PAD的法向量，再利用线面夹角公式可得EF与平面PDB所成角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．