Question

已知函数f(x)=

1+ax2

x+b

(a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）
（1）求实数a，b的值；
（2）当x＞0时，求出函数f（x）的递增区间，并用定义进行证明；
（3）求函数f（x）当x＞0时的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）+f（x）=0可求得b=0；又f（x）的图象经过点（1，3），从而可求得a；
（2）当x＞0时，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增，利用单调性的定义证明即可；
（3）可利用导数判断f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增，在（0，

2

2

]上单调递减，从而可确定函数f（x）当x＞0时的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

1+ax2

x+b

(a≠0)是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=

1+a•(-x)2

-x+b

+

1+ax2

x+b

=（1+ax²）•

2b

(x+b)(-x+b)

=0，
∴b=0；
∴f（x）=

1+ax2

x

(a≠0)，又f（x）的图象经过点（1，3），
∴

1+a

1

=3，
∴a=2；
∴f（x）=2x+

1

x

；
（2）当x＞0时，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增．
证明：令

2

2

≤x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=2（x₂-x₁）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₂-x₁）（2-

1

x1•x2

），
∵

2

2

≤x₁＜x₂，
∴0＜

1

x1•x2

＜2，于是2-

1

x1•x2

＞0，
∴（x₂-x₁）（2-

1

x1•x2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴当x＞0时，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增．
（3）∵f（x）=2x+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=2-

1

x2

，由f′（x）≥0可得x≥

2

2

，由f′（x）＜0可得0＜x＜

2

2

，
∴f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增，在（0，

2

2

]上单调递减．
∴f（x）=2x+

1

x

在x=

2

2

处取到最小值2

2

，
∴当x＞0时f（x）=2x+

1

x

的值域为：[2

2

，+∞）．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，难点在于函数单调增区间的确定（导数法先判断，再用定义证明），着重考查函数奇偶性与单调性的性质及其应用，综合性强，属于难题．