Question

8．已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0，试求sin²α+sin²β的取值范围．

Answer 1

分析 由3sin²α-2sinα+2sin²β=0，可得sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α，带入sin²α+sin²β转换为二次函数问题求解即可．

解答 解：由3sin²α-2sinα+2sin²β=0，可得sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α，
∵sin²β≥0，即sinα-$\frac{3}{2}$sin²α≥0，
可得：0≤sinα$≤\frac{2}{3}$
那么：sin²α+sin²β=sinα-$\frac{1}{2}$sin²α=$-\frac{1}{2}$（sin²α-2sinα+1）+$\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}$（sinα-1）²$+\frac{1}{2}$．
∴当sinα=0时，sin²α+sin²β取得最小值为0．
当sinα=$\frac{2}{3}$时，sin²α+sin²β取得最大值为$\frac{4}{9}$．
∴sin²α+sin²β的取值范围是[0，$\frac{4}{9}$]．

点评 本题主要考查了三角函数的有界限的运用和二次函数的运用，求出sinα的范围是解题的关键．属于中档题．