Question

【题目】“把你的心我的心串一串，串一株幸运草串一个同心圆…”一位数学老师一这句歌词为灵感构造了一道名为《爱2017》的题目，请你解答此题：设O为坐标原点，直线l与圆C1：x2+y2=1相切且与圆C2：x2+y2=r2（r＞1）相交于A、B两不同点，已知E（x1，y1）、F（x2，y2）分别是圆C1、圆C2上的点．

（1）求r的值；

（2）求△OEF面积的最大值；

（3）若△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，已知点D（3，0），求|DE|2+|DF|2的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）r=2；（2）1；（3）[23﹣6，23+6].

【解析】试题分析：（1）直线l与圆C1：x2+y2=1相切的切点P是弦AB的中点，利用勾股定理，可得r的值；（2）当OE⊥OF时，△OEF面积取最大值；（3）△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，则△OEF的外接圆与C2内切，且∠EOP=60°，不妨令P（cosα，sinα），则F（2cosα，2sinα），E（cos（α+60°），sin（α+60°）），结合点D（3，0），利用向量法结合三角函数，求出|DE|2+|DF|2的取值范围．

试题解析：

（1）如图所示，直线l与圆C1：x2+y2=1相切的切点P是弦AB的中点，

且OP⊥AB，AB=2AP=2，解得r=2；

（2）△OEF的面积S=|OE|×|OF|sin∠EOF，

故当OE⊥OF时，△OEF面积的最大值为：S=|OE|×|OF|=×1×2=1；

（3）△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，

即PE=PF=PO=1，

则△OEF的外接圆与C2内切，且∠EOP=60°，

不妨令P（cosα，sinα），则F（2cosα，2sinα），E（cos（α+60°），sin（α+60°）），

∵点D（3，0），

∴=（cos（α+60°）﹣3，sin（α+60°）），=（2cosα﹣3，2sinα），

|DE|2+|DF|2=[cos（α+60°）﹣3]2+sin2（α+60°）+（2cosα﹣3）2+（2sinα）2

=23﹣15cosα+3sinα

=6sin（α﹣φ）+23，其中tanφ=，

故|DE|2+|DF|2的取值范围为[23﹣6，23+6]