Question

【题目】已知， ， .

（1）讨论函数的单调性；

（2）记，设， 为函数图象上的两点，且.

（i）当时，若在， 处的切线相互垂直，求证： ；

（ii）若在点， 处的切线重合，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，转化为研究导函数零点，即方程=0的根的情况，当，导函数不变号，在上单调递减，当时，有两个不等根，列表分析导函数符号变化规律，确定对应单调区间，（2）（i）利用导数几何意义化简条件： 在， 处的切线相互垂直，得，利用基本不等式证明不等式，（ii）先分别求出切线方程，再根据切线重合得，消元得，利用导数研究函数， 单调性，确定函数值域，进而确定的取值范围.

试题解析：解：（1），则，

当即时， ， 在上单调递减，

当时即时， ，

此时在和上都是单调递减的，在上是单调递增的；

（2）（i），据题意有，又，

则且， ，

法1： ，

当且仅当即， 时取等号.

法2： ， ，

当且仅当时取等号.

（ii）要在点处的切线重合，首先需要在点处的切线的斜率相等，

而时， ，则必有，即， ，

处的切线方程是：

处的切线方程是： ，

即，

据题意则， ，

设， ， ，

设， 在上恒成立，

则在上单调递增，

则， 在上单调递增，

则，再设， ，

， 在上单调递增， ，

则在恒成立，

即当时， 的值域是，

故，即为所求.