Question

在等差数列{a_n}中，a₁为首项，S_n是其前n项的和，将Sn=

(a1+an)n

2

整理为

Sn

n

=

1

2

an+

1

2

a1后可知：点P1(a1，

S1

1

)，P2(a2，

S2

2

)，…，Pn(an，

Sn

n

)，…（n为正整数）都在直线y=

1

2

x+

1

2

a1上，类似地，若{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，则点P₁（a₁，S₁），P₂（a₂，S₂），…，P_n（a_n，S_n），…（n为正整数）在直线

y=

q

q-1

x+

a1

1-q

上．

Answer 1

分析：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，可以类比上述性质，得出：若{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，则点P₁（a₁，S₁），P₂（a₂，S₂），…，P_n（a_n，S_n），…（n为正整数）在直线 y=

q

q-1

x+

a1

1-q

上．

解答：解：若{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，
则其前n项和Sn=

a 1-a 1q n

1-q

=

a 1

1-q

-

a nq

1-q

，
说明P_n（a_n，S_n）在在直线 y=

q

q-1

x+

a1

1-q

上
即：点P₁（a₁，S₁），P₂（a₂，S₂），…，P_n（a_n，S_n），…（n为正整数）在直线 y=

q

q-1

x+

a1

1-q

上．
故答案为：y=

q

q-1

x+

a1

1-q

．

点评：本小题主要考查类比推理、等比数列的前n项和等基础知识，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．