Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出，对的正负分类讨论即可。

（2）利用（1）中的结论即可判断在上单调递减，在上单调递增，对与区间的关系分类讨论即可判断在的单调性，从而根据零点个数列不等式组即可求解。

解：（1）的定义域为，

.

①时，，所以在上单调递增；

②时，由得，得.

即在上单调递减，在上单调递增.

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

①若，即时，在上单调递增，

，在区间上无零点.

②若，即时，在上单调递减，在上单调递增，

.

∵在区间上恰有两个零点，

∴，∴.

③若，即时，在上单调递减，

，，在区间上有一个零点.

综上，在区间上恰有两个零点时的取值范围是.