Question

已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（I）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（II）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

Answer 1

解：根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即，（2分）
解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°．（4分）
所以两切线所夹劣弧长为．（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设，（6分）
和圆x²+y²=4联立，得到，
代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，
所以有，，（8分）
代入直线方程得，．（9分）
同理，设，联立方程有，
代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的两个根，，，
代入得到．（11分）
若x₁=1，则t²=12，此时
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，
所以有，（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）
分析：根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即，解得t=0，所以点P坐标为（4，0），由此能够求出两切线所夹劣弧长．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），可以设，和圆x²+y²=4联立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．