Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

3

）sin（x+

π

3

），g（x）=

3

2

sin2x+

1

4

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的最小值，并求使h（x）取得最小值时x的取值集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式以及倍角公式化简，然后求周期；
（2）求出h（x）的解析式，然后运用公式化简．

解答： 解：（1）∵（x）=sin（x-

π

3

）sin（x+

π

3

）=（

1

2

sinx-

3

2

cosx）（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=-

1

4

-

1

2

cos2x，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；  …（6分）
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=

3

2

sin2x+

1

4

-

1

4

-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴h（x）的最小值为-1，此时2x-

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
所以x=kπ-

π

6

，使h（x）取得最小值时的x取值集合{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}．…（12分）

点评：本题考查了三角函数解析式的化简以及性质的运用，关键是熟练三角函数公式，正确将解析式化为一个角的一个三角函数名称的形式．