Question

若函数y=cos²x+asinx-

1

2

a-

3

2

的最大值是1，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：化简可得y=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

1

2

a-

1

2

，由二次函数区间的最值分类讨论可得．

解答： 解：化简可得y=cos²x+asinx-

1

2

a-

3

2

=1-sin²x+asinx-

1

2

a-

3

2

=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

1

2

a-

1

2

，
当

a

2

≤-1即a≤-2时，由二次函数可知sinx=-1时，上式取最大值-

3

2

a-

3

2

=1，解得a=-

5

3

不满足a≤-2，应舍去；
当-1＜

a

2

＜1即-2＜a＜2时，由二次函数可知sinx=

a

2

时，上式取最大值

a2

4

-

1

2

a-

1

2

=1，解得a=1-

7

或a=1+

7

经检验a=1-

7

满足-2＜a＜2，而a=1+

7

不满足，应舍去；
当

a

2

≥1即a≥2时，由二次函数可知sinx=1时，上式取最大值

1

2

a-

3

2

=1，解得a=5满足a≥2，符合题意．
综上可知a的值为1-

7

或5

点评：本题考查三角函数的最值，涉及二次函数区间的最值和分类讨论的思想，属中档题．