Question

19．设D为不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-y≤0\\ x+3y≤3\end{array}\right.$表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是$\frac{9}{4}$，$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范围是[-$\sqrt{2}$，0]．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．判断$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．

解答 解：先根据约束条件不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-y≤0\\ x+3y≤3\end{array}\right.$画出可行域：
当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$，可得A（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）时，
z最大是2×$\frac{3}{4}$$+\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
由约束条件x-y≤0，可知$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$≤0，令z=$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$，可得z²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1-$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$，
令t=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，由可行域可得$\frac{y}{x}$∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．求解$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的最小值，就是解z²的最大值，
即1-$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$的最大值，可知$\frac{y}{x}$∈（-∞，-1]，显然$\frac{y}{x}$=-1时，z²取得最大值2．
所以z$≥-\sqrt{2}$，
$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范围是[-$\sqrt{2}$，0）．
故答案为：$\frac{9}{4}$．[-$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，考查转化思想的应用，属于中档题．