Question

19．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为48π．

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是三棱锥为正方体一部分，并求出棱长、画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，代入球的表面积公式求值即可．

解答 解：根据三视图知几何体是：
三棱锥P-ABC为棱长为4的长方体一部分，
直观图如图所示：
则三棱锥P-ABC的外接球是此正方体的外接球，
设外接球的半径是R，
由正方体的性质可得，2R=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=$4\sqrt{3}$，
则R=$2\sqrt{3}$
即该几何体外接球的表面积S=4πR²=48π，
故答案为：48π．

点评 本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．