Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.

Answer 1

(1) ；(2)△面积的取值范围为 。

试题分析：(1)由已知得 ∴方程：  （4分）
(2)由题意可设直线的方程为： 
联立 消去并整理，得：
则△ ,
此时设、∴
于是  （7分）
又直线、、的斜率依次成等比数列，
∴  
由  得：  .又由△ 得：
显然 （否则：，则中至少有一个为0，直线、 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）                     （10分）
设原点到直线的距离为,则

故由得取值范围可得△面积的取值范围为 （13分）
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的定义及几何性质。（2）作为研究点到直线的距离最值问题，利用了函数思想。