Question

7．求下列函数的值域：
（1）y=cos²x+2sinx-2；
（2）y=cos²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，求得它的最值．

解答 解：（1）∵y=cos²x+2sinx-2=-sin²x+2sinx-1=-（sinx-1）²，-1≤sinx≤1，
故y∈[-4，0]．
（2）∵y=cos²x-sinx=-sin²x-sinx+1=-${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故当sinx=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为$\frac{5}{4}$，当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数取得最小值为$\frac{2-2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．