Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-lnx，x＞0}\\{a（x-1），x≤0}\end{array}\right.$（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a≥1时，求证：函数f（x）的图象上有且只有一对点关于原点对称．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数结合一次函数的单调性的性质即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求出函数f（x）=a（x-1），x≤0关于原点对称的解析式，将函数f（x）的图象上有且只有一对点关于原点对称，转化为函数只有一个零点，利用构造法结合函数的导数研究函数的单调性进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）当x＞0时，f（x）=x-lnx，
则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此时函数为增函数，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数为减函数，即当x=1时函数取得极小值f（1）=1，
若a＞0，函数f（x）=a（x-1）在（-∞，0]上为增函数，
若a＜0时，函数f（x）=a（x-1）在（-∞，0]上为减函数．
（Ⅱ）当a≥1时，若x≥0，则-x≤0，
则f（-x）=a（-x-1），
若函数f（x）关于原点对称，则f（-x）=a（-x-1）=-f（x），
则f（x）=a（x+1），y=a（x+1）
当x＞0时，由x-lnx=a（x+1），
即lnx+（a-1）x+a=0，
设g（x）=lnx+（a-1）x+a，x＞0
函数的导数g′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1，
当a≥1时，当x＞0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1＞0，则函数g（x）为增函数，
且当x→0时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，
故函数g（x）=lnx+（a-1）x+a，x＞0在a≥1时，有且只有一个零点，
即函数f（x）的图象上有且只有一对点关于原点对称．

点评 本题主要考查函数单调性和导数的应用，根据条件进行转化，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．