Question

6．已知f（x）=|x-1|+|x-2}，其中x∈R．
（1）解不等式f（x）＜5；
（2）若不等式f（x）≥a+$\frac{2}{a}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可讨论x的取值去掉绝对值号得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x+3}&{x≤1}\\{1}&{1＜x＜2}\\{2x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$，这样把每段函数带入f（x）＜5便可得到一个不等式，解不等式再求并集便可得出原不等式的解集；
（2）可以求出f（x）的最小值为1，从而可由原不等式得到1$≥a+\frac{2}{a}$，这样解该不等式即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=|x-1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l}{-2x+3}&{x≤1}\\{1}&{1＜x＜2}\\{2x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$；
∴①x≤1时，由f（x）＜5得，-2x+3＜5；
∴x＞-1；
即-1＜x≤1；
②1＜x＜2时，1＜5恒成立；
即1＜x＜2；
③x≥2时，2x-3＜5；
∴x＜4；
即2≤x＜4；
综上得，原不等式的解集为（-1，4）；
（2）f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1；
即f（x）的最小值为1；
由不等式$f（x）≥a+\frac{2}{a}$恒成立得，1$≥a+\frac{2}{a}$；
解得a＜0；
∴实数a的取值范围为（-∞，0）．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，绝对值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及分式不等式的解法，一元二次不等式的解法．