Question

16．设实数m≠0，直线x=-6m与x+2y=0交于点P，角α的终边经过点P，求出$\frac{2sin2α+cos2α+1}{2cosα}$+$\frac{8tanα}{5}$的值．

Answer 1

分析 先求出P（6m，-3m），由此利用三角函数定义求出sinα，cosα，tanα，由此能求出$\frac{2sin2α+cos2α+1}{2cosα}$+$\frac{8tanα}{5}$的值．

解答 解：∵实数m≠0，直线x=-6m与x+2y=0交于点P，角α的终边经过点P，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{x=6m}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，得P（6m，-3m），
∴当m＞0时，x=6m，y=-3m，r=$\sqrt{36{m}^{2}+9{m}^{2}}$=3$\sqrt{5}$m，
sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{-3m}{3\sqrt{5}m}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{6m}{3\sqrt{5}m}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{-3m}{6m}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2sin2α+cos2α+1}{2cosα}$+$\frac{8tanα}{5}$
=$\frac{4sinαcosα+2co{s}^{2}α}{2cosα}$+$\frac{8tan}{5}$
=2sinα+cosα+$\frac{8}{5}tanα$
=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8}{5}•（-\frac{1}{2}）$
=-$\frac{4}{5}$．
当m＜0时，x=6m，y=-3m，r=$\sqrt{36{m}^{2}+9{m}^{2}}$=-3$\sqrt{5}$m，
sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{-3m}{-3\sqrt{5}m}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{6m}{-3\sqrt{5}m}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{-3m}{6m}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2sin2α+cos2α+1}{2cosα}$+$\frac{8tanα}{5}$
=$\frac{4sinαcosα+2co{s}^{2}α}{2cosα}$+$\frac{8tan}{5}$
=2sinα+cosα+$\frac{8}{5}tanα$
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8}{5}•（-\frac{1}{2}）$
=-$\frac{4}{5}$．
综上，$\frac{2sin2α+cos2α+1}{2cosα}$+$\frac{8tanα}{5}$=-$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数定义、同角三角函数关系式，二倍角公式的合理运用．