Question

8．已知函数f（x）=2sin2x-2cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）取得最大值时x的集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由此能求出f（x）的最小正周期．
（2）当f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$时，2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，由此能求出x的集合．
（3）函数f（x）的单调递增区间满足：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，由此能求了函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin2x-2cos2x=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）当f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$时，
2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得x=$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z，
∴f（x）取得最大值时x的集合为{x=$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z}．
（3）函数f（x）的单调递增区间满足：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{8}+kπ$，$\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的最小正周期的求法，考查函数值取最大值时x的集合的求法，考查函数的增区间，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数性质的合理运用．